本质矩阵

以$O_r$为原点

令$PO_rO_L$平面的法向量为$\overrightarrow{n}$，根据叉乘公式

$$ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{O_rO_l} \times \overrightarrow{O_rP}=t_{rl}\times P_r $$

有下面公式成立：

$$ \overrightarrow{O_rP} . \overrightarrow{n}=0 \leftrightarrow P_r . \overrightarrow{n}=0 $$

联合起来：

$$ P_r·(t_{rl}\times P_r)=0 $$

根据坐标转换公式有：

$$ P_r=R_{rl}P_l+t_{rl} $$

继续联合：

$$ P_r·(t_{rl}\times (R_{rl}P_l+t_{rl}))=0 $$

利用自己和自己叉积为0, $t_{rl}\times t_{rl}=0$,得到：

$$ P_r·t_{rl}\times R_{rl}P_l=0 $$

$·$为向量积，转成常用的矩阵乘法：

$$ P_r^T(t_{rl}\times R_{rl})P_l=0 $$

令：

$$ E=t_{rl}\times R_{rl} $$

这里我们就得到了两个坐标系之间的约束，这东西就是对极约束，$E$就是本质矩阵：

$$ P_r^TE P_l=0 $$

基础矩阵

令$x_l$和$x_r$为对应的像素坐标，因为之前有：

$$ P_r^TE P_l=0 $$

转换到像素空间就是

$$ {(K_r^ {-1}x_r)}^TE K_l x_l=0 \leftrightarrow x_r ^T K_r^ {-T}E K_l x_l=0 $$

令

$$ F= K_r^ {-T}E K_l \leftrightarrow F=K_r^ {-T} t_{rl}\times R_{rl} K_l $$

得到：

$$ x_r^TFx_l=0 $$

这样就建立了两个像素坐标系的关系，$F$就是基础矩阵